Gli antichi Greci definiscono i due processi mentali che stanno alla base del processo matematico: l'astrazione, cioè trarre un'idea generale dalla percezione di una o più qualità comuni a cose diverse, e la dimostrazione, ovvero giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare contraddizioni in nessuna parte dell'argomentazione.

Il greco Talete stabilisce alcuni importanti teoremi di geometria, misura l'altezza della piramide di Cheope, in Egitto applicando la similitudine dei triangoli. Talete viene considerato l'iniziatore dell'indagine scientifica, in quanto ricerca le cause dei fenomeni naturali proponendone una spiegazione razionale.

Pitagora e la sua Scuola formulano e dimostrano il teorema sui triangoli rettangoli che porta il nome del maestro. Ai pitagorici si deve anche lo studio delle relazioni tra numeri, dei quadrati e dei cubi; la scoperta dei numeri irrazionali; la risoluzione delle equazioni quadratiche miste; lo studio dei poliedri regolari, e la scoperta delle relazioni tra la lunghezza e il tono di una corda vibrante. Pitagora è anche noto come "filosofo femminista" perchè favorì le donne studiose: risulta che nella sua esclusiva scuola ne fossero iscritte ventotto.

Teano è la prima donna di cui è nota la dedizione alla matematica. Fu allieva di Pitagora per poi diventare un discepolo tra i più eminenti e infine sua moglie.

Il greco Ippocrate (Coo 460-377) scrive il primo trattato di geometria Elementi , in cui per primo introduce le lettere dell'alfabeto per descrivere le figure geometriche.

I greci Democrito (Abdera 460-370), Eudosso (Cnido 408-353) e Archita (Taranto sec. IV) risolvono importanti problemi di geometria e aritmetica, quali la determinazione di volumi, il teorema della sezione aurea, e il metodo della esaustione.

Il greco Euclide espone negli Elementi di geometria, in forma sistematica e con numerose intuizioni proprie, le proporzioni geometriche e la teoria dei numeri, patrimonio della cultura matematica ellenica dell'epoca. Nella sua opera importa le conoscenze matematiche della cultura babilonese e di quella egiziana, le riordina e sistema procedendo per definizioni, postulati, assiomi, con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo.

Il siciliano Archimede si occupa in maniera geniale di aritmetica, algebra, geometria, fisica: tratta dei grandi numeri, di equazioni cubiche, di potenze. Con il suo lavoro anticipa la legge esponenziale e il calcolo logaritmico e pone i primi fondamenti del calcolo integrale.

Il greco lpparco (Nicea 190-125) fonda la trigonometria piana e sferica.

Il greco Erone (Alessandria II-I sec. a.C.) compie importanti studi di geometria e fisica.

Il greco Claudio Tolomeo nell' Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica, introducendo gradi, minuti e secondi nella misurazione degli angoli.

I Cinesi usano il sistema di numerazione decimale.

Il greco Diofanto usa per primo i simboli algebrici ed enuncia le regole per risolvere equazioni di primo e di secondo grado. È considerato il padre dell'algebra.

Il latino Severino Boezio (Roma 480-524) compie ricerche di logica, matematica, geometria, che avranno grande influenza durante tutto il Medioevo.

Ipazia ( Alessandria d'Egitto IV secolo ), figlia di un matematico, fu la prima donna a fondare una sua autorevole scuola. E' famosa per le sue grandi doti oratorie e per la sua capacità nel risolvere problemi considerati insolubili.

Gli Indiani usano la numerazione posizionale e i numerali indù: simboli per i numeri dall'1 al 9, più lo 0.

I Cinesi introducono l'estrazione della radice quadrata, le equazioni cubiche, il sistema indù di numerazione.

Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale indiana, detta poi in Occidente 'arabica'. Compaiono nella matematica e nell'astronomia numerosi termini di origine araba: algebra, algoritmo, nadir, zenit, cifra, zero ecc.

Il turkestano Muhammad ibn Mùsa al Khuwarizmi compone il trattato Al-giabr wa'l mu kabala , ovvero Del modo di assestare cose opposte , dalla cui parola iniziale deriverà il termine 'algebra'.

L'indiano Sridhara (nato nel 991) nel suo Compendio di calcolo dà una chiara considerazione sull'uso dello zero, con le proposizioni a+0=a; 0xa=0; ax0=0.

Il persiano Omar Khayyam (morto a Nishapur circa nel 1123) sviluppa il sistema di calcolo delle radici irrazionali, detta le regole per l'estrazione di radici e indici arbitrari e per la soluzione di equazioni cubiche.

Il francese Nicola di Oresme (Oresme 1325-Lisieux 1382) espone la teoria delle quantità irrazionali e la teoria delle funzioni, concetto fondamentale della matematica in Occidente.

Luca Pacioli pubblica (1494) la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità , primo trattato generale di aritmetica e algebra, con un accenno al calcolo delle probabilità e ai logaritmi.

Gerolamo Cardano studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e irrazionali, discute le radici delle frazioni, espone il sistema di soluzione algebrica delle equazioni di terzo grado; è il primo a trattare le cosiddette grandezze immaginarie.

Niccolò Fontana detto Tartaglia enuncia (1546) il sistema di soluzione delle equazioni cubiche ridotte.

Il francese François Viéte (Fontenay-Le Comte 1540-Parigi 1603) dà la prima esposizione di algebra simbolica (1591), che permette di scrivere lunghe espressioni matematiche, secondo il metodo moderno.

Lo scozzese John Napier (Giovanni Nepero) (Edimburgo 1550-1617) e lo svizzero Jost Bürgi (Licktensteig 1552-Kassel 1632) inventano i logaritmi, giungendo allo stesso risultato indipendentemente l'uno dall'altro.

L'inglese Henry Briggs (Warleywood 1561-Oxford 1631) pubblica (1617-24) le prime tavole di logaritmi a base 10.

Il francese Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665) concepisce i principi essenziali della geometria analitica.

Bonaventura Cavalieri (Milano 1598-Bologna 1647) realizza notevoli progressi nel campo della trigonometria sferica e del calcolo infinitesimale (1632-35).

Il francese René Descartes (Renato Cartesio) (La Haye 1596-Stoccolma 1650) pubblica (1637), come appendice al Discours de la méthode , la Géometrie , contenente i fondamenti della geometria analitica.

Il francese Blaise Pascal (Clermont 1623-Parigi 1662) crea le basi della geometria proiettiva e, insieme con Fermat, fonda il calcolo delle probabilità (1639-47).

L'inglese Isaac Newton (Woolsthorpe 1642-Londra 1727) inventa (1665) il calcolo delle flussioni, più tardi detto calcolo differenziale.

Il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia 1646-Hannover 1716) giunge (1684) per altra via, indipendentemente da Newton, a curare il calcolo differenziale.

L'Hôpital, Guillaume François Antoine de Sainte Mesme (o L'Hospital) (Parigi 1661 - Parigi 1704), matematico francese, studioso del calcolo infinitesimale. Pubblica nel 1696 il primo manuale di calcolo differenziale che sia mai stato stampato: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, ( Analisi degli infinitamente piccoli per la comprensione delle linee curve ).

Lo svizzero Jakob Bernoulli (Basilea 1654-1705) inventa (1687) il calcolo delle probabilità; suo fratello Johann Bernoulli (Basilea 1667-1748) pone i fondamenti (1697) del calcolo esponenziale.

Lo svizzero Eulero , nome latinizzato di Leonhard Euler (Basilea 1707-Pietroburgo 1783), introduce (1744) nella geometria analitica il calcolo delle variazioni, che permette moltissimi nuovi impieghi del calcolo applicato alle curve e alle superficie.

Gaetana Agnesi ( Milano 1718 - 1799), figlia di un matematico, era conosciuta come una delle migliori matematiche europee, famosa in particolare per i suoi trattati sulla tangenti e sulle curve.

Ruffini Paolo( Valentano 1765 ? Modena 1822 ) Il suo nome è legato alla dimostrazione parziale della irresolubilità algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto, tramite la teoria dei gruppi, e alla regola di scomposizione dei polinomi.

Il tedesco Karl Friedrich Gauss (Brunswick 1777-Gottinga 1855) dà la dimostrazione rigorosa (1797) del teorema fondamentale dell'algebra: ogni equazione ha tante soluzioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria, è il primo a considerare il concetto di spazio curvo, mettendo in crisi la geometria euclidea.

Il francese Pierre Simon de Laplace (Beaumont-en-Auge 1749-Parigi 1827) espone (1809) i fondamenti del calcolo con funzioni generatrici (analisi matematica) e utilizza il calcolo infinitesimale per sviluppare la teoria delle probabilità.

Marie-Sophie Germain (Parigi 1776 - 1831) fu una brillante matematica francese. Per diversi anni fu costretta ad utilizzare uno pseudonimo maschile, perché all'epoca le donne erano ancora escluse dagli ambienti accademici. E' considerata uno dei grandi matematici del suo tempo. Famosa per le sue ricerche sulle vibrazione delle superfici elastiche e per l'opera sull'Ultimo Teorema di Fermat. Fu la prima donna ammessa a frequentare le sessioni dell' Accademia delle scienze, un privilegio fino ad allora riservato solo alle mogli degli scienziati membri.

Évariste Galois ( Bourg la Reine,1811? Parigi 1831 ) . Ragazzo prodigio, poco più che adolescente riesce a determinare un metodo generale per scoprire se un polinomio ha delle radici, risolvendo così un problema della matematica vecchio di millenni. Il suo lavoro pone le basi per la teoria che porta il suo nome, la Teoria di Galois appunto, un'importante branca dell' algebra astratta; crea inoltre i gruppi che, ugualmente, portano il suo nome: i gruppi di Galois. E' anche il primo ad utilizzare il termine gruppo in matematica per definire un insieme di possibili permutazioni di elementi. Muore durante un duello a soli vent'anni di età.

Il francese Augustin Cauchy (Parigi 1789-Sceaux 1857) stabilisce (1821) su basi rigorose il calcolo infinitesimale.

Il francese Jean-Victor Poncelet (Metz 1788-Parigi 1867) fonda la geometria proiettiva (1822).

ll norvegese Niels Heinrich Abel (Finney 1802-Arendal 1829) fonda la teoria delle equazioni algebriche (1824).

Il russo Nikolaj lvanovié Lobacévskij (Makar'ev 1793-Kazan' 1856) espone (1926) e poi pubblica nei Nuovi fondamenti della geometria (1835-38) la sua concezione della geometria non euclidea che verrà successivamente detta iperbolica.

L'ungherese Janos Bolyai (Kolozsvar 1802-Marosvasarhely 1860) pubblica nel 1831 una teoria sulla geometria iperbolica.

Il tedesco Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826-Selasca, Lago Maggiore, 1866) elabora nuove teorie sulle funzioni, sugli integrali e sulla costruzione di un sistema geometrico non euclideo (geometria ellittica di Riemann). Postula, inoltre, spazi curvi a tre e più dimensioni.

Il tedesco August Ferdinand Mòbius (Schulpforta 1790-Lipsia 1868) getta le basi (1863) della topologia, una branca della geometria che studia le proprietà degli enti geometrici che non variano quando vengono sottoposti a una deformazione continua.

L'irlandese George Boole (LincoIn 1815-Cork 1864) è uno dei fondatori dell'algebra astratta, e il primo ad avere piena coscienza dell'inapplicabilità delle nozioni e dei metodi algebrici a oggetti non materiali. È fondatore anche dell'algebra della logica (logica o algebra booleana).

Il tedesco Georg Cantor (Pietroburgo 1845-Halle 1918) espone la teoria dei numeri irrazionali, definisce i numeri transfiniti, formula in modo compiuto e rigoroso la teoria degli insiemi.

Il tedesco Felix Klein (Dùsseldorf 1849-Gottinga 1925) studia i rapporti tra le geometrie non euclidee e la teoria dei gruppi, e definisce rigorosamente l'ambito della topologia.

Il tedesco Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar 1848-Bad Kleinen 1925) inizia l'opera di unificazione tra aritmetica e logica.

Giuseppe Peano (Cuneo 1858-Torino 1932) espone un completo e organico sistema di calcolo geometrico ed elabora una simbologia che diverrà elemento fondamentale della logica matematica.

Il tedesco David Hilbert (Königsberg 1862-Gottinga 1943) fonda (1899) la geometria assiomatica, che si basa sulla rigorosa deduzione da assiomi fondamentali. Espone (1912) la teoria dell'algebra funzionale (geometria analitica in uno spazio a infinita dimensione).

Federigo Enriquez (Livorno 1871-Roma 1946) dà una sistemazione rigorosa alla geometria proiettiva.

Guido Castelnuovo (Venezia 1865-Roma 1952) studia le trasformazioni geometriche bilineari e ricostruisce la teoria delle serie lineari sopra le curve (geometria numerativa).

Gregorio Ricci-Curbastro (Lugo, Ravenna, 1853-Padova 1925) e Tullio Levi-Civita (Padova 1873-Roma 1941) creano il calcolo differenziale assoluto, che permetterà a A. Einstein (1879-1955) di formulare la teoria della relatività.

Amalie Emmy Noether ( Erlangen 1882- Pennsylvania 1935) fu una matematica tedesca. Tra i suoi meriti, ricordiamo soprattutto il teorema di Nother, che ci offre una relazione generale tra simmetria e leggi di conservazione. Nöther ha anche contribuito alla fondazione dell' algebra moderna

Gli inglesi Bertrand Russell (Trellek 1872-Penrhyndeudraeth 1970) e Alfred North Whitehead (Ramsgate 1861-Cambridge, Massachusetts, 1947) nei Principia mathematica (1910), mediante l'impiego di una simbologia derivata da quella di Peano e di Frege, studiano i fondamenti della logica matematica ed enunciano i postulati della logica delle proposizioni e della teoria dei tipi.

L'olandese Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Overschie 1881-Amsterdam 1966) fonda (1912) l'intuizionismo matematico: i fondamenti della matematica sono validi perché immediatamente intuiti.

Vito Volterra (Ancona 1860-Roma 1940) fonda il calcolo (o analisi) funzionale (1913).

L'austriaco Ludwig Wittgenstein (Vienna 1889-Cambridge 1951) nel Tractatus logico-philosophicus (1922) sostiene che la conoscenza consiste nella forma logica del linguaggio e nel criterio di verificabilità dei singoli enunciati, identificando logica e matematica nel comune carattere delle loro proposizioni.

L'ungherese naturalizzato statunitense Johann von Neumann (Budapest 1903-Washington 1957) elabora (1928) la teoria dei giochi che diverrà fondamentale per la soluzione di un grande numero di problemi di strategia economica, finanziaria, aziendale, pubblicitaria ecc.

Il cecoslovacco naturalizzato statunitense Kurt Gödel (Brno 1906-Princeton 1978) dimostra (1931) come nei sistemi formali si diano proposizioni non dimostrabili o derivabili nel sistema stesso, pur essendo vere (teorema di Gödel), denunciando la non autosufficienza dell'aritmetica.

Lo statunitense Norbert Wiener (Columbia 1894-Stoccolma 1964) studia (1943) l'applicazione della logica matematica allo studio dell'attività del sistema nervoso. In una sua opera del 1948, propone il termine cibernetica dal greco kibérnetiké ( tékhné ), arte di guidare. Nel 1949-50 elabora, con lo statunitense C.E. Shannon (nato 1916), la teoria dell'informazione.